关系模型基础：基本概念、完整性与关系代数
关系模型基础：基本概念、完整性与关系代数
一、课程考点总览
- 考查形式：关系基本概念、关系完整性以选填为主；关系代数为高频考点，选填+简答/计算均会涉及
- 核心框架：关系模型基于集合代数，核心围绕「关系概念+完整性约束+关系代数运算」展开
二、关系的基本概念
1. 域（Domain）
定义：一组具有相同数据类型的值的集合，本质是属性的取值范围。
$$D = {d_1,d_2,\dots,d_n}$$
示例：整数集$\Z$、8位数字格式的生日集${20031010,20040506,\dots}$、学号编码集等。
2. 笛卡尔积（Cartesian Product）
定义：设域$D_1,D_2,\dots,D_n$，其笛卡尔积为各域的所有可能组合：
$$D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n = {(d_1,d_2,\dots,d_n) \mid d_i \in D_i, i=1,2,\dots,n}$$
核心衍生概念
- 元组（Tuple）：笛卡尔积中的每个元素$(d_1,d_2,\dots,d_n)$，对应二维表的一行；
- 分量（Component）：元组中的每个$d_i$，对应二维表的一个单元格值；
- 域的基数：一个域中不同取值的个数，记为$m_i$；
- 笛卡尔积的基数：各域基数的乘积，$M = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$。
示例：$D_1={T1,T2}$（导师，$m_1=2$），$D_2={CS,SE}$（专业，$m_2=2$），$D_3={S1,S2,S3}$（学生，$m_3=3$），则$D_1 \times D_2 \times D_3$的基数$M=2×2×3=12$。
3. 关系（Relation）
定义：笛卡尔积$D_1 \times D_2 \times \dots \times D_n$的子集，记为：
$$R(D_1,D_2,\dots,D_n)$$
其中$R$为关系名，$n$为目/度（关系中属性的个数），$n=1$为一元关系，$n=2$为二元关系。
核心衍生概念
- 属性（Attribute）：关系中每一列的名称，对应域的标识，如「导师」「专业」「学生」；
- 候选码（Candidate Key）：能唯一标识一个元组，且其任意子集无此特性的属性/属性组；
- 主码（Primary Key）：从多个候选码中选定的一个，作为关系的唯一标识；
- 全码（All-Key）：关系中所有属性共同构成候选码，是极端情况。
4. 关系的类型
| 类型 | 别称 | 定义 | 存储特性 |
|---|---|---|---|
| 基本关系 | 基本表 | 实际存在的关系 | 物理存储数据 |
| 查询关系 | 查询表 | 基于条件从基本表查询的结果 | 临时生成，不持久 |
| 视图表 | 视图 | 由基本表/其他视图导出 | 虚表，不存储数据 |
5. 基本关系的6条性质
- 列同质：每一列的分量来自同一域，数据类型一致；
- 列可同域：不同列可出自同一个域，需用不同属性名区分；
- 列序无关：列的排列顺序不影响关系的含义，可任意调整；
- 候选码唯一：任意两个元组的候选码值不能重复；
- 行序无关：行的排列顺序不影响关系的含义，可任意交换；
- 分量原子性：每个分量是不可分的数据项，不允许「表中有表」（满足第一范式）。
三、关系的完整性约束
关系完整性是对关系的数据约束规则，保证数据的正确性、一致性和有效性，共3类：
1. 实体完整性（Entity Integrity）
规则：若属性$A$是基本关系$R$的主属性（候选码中的属性），则$A$不能取空值，且主属性值唯一。
- 空值：表示「不知道/不存在/无意义」的值，非0/空字符串；
- 本质：保证现实世界中的实体可区分（主码唯一标识实体）；
- 示例：学生关系中，学号为主码，则学号不能为NULL，且无重复学号。
2. 参照完整性（Referential Integrity）
前置概念：外码（Foreign Key）
设$F$是基本关系$R$的属性/属性组，不是$R$的主码；$K_S$是基本关系$S$的主码，且$F$与$K_S$属性个数相同、类型可比，则称$F$是$R$的外码。
- 参照关系：$R$（包含外码的关系）；
- 被参照关系/目标关系：$S$（外码引用的关系）；
- 特殊情况：$R$和$S$可以是同一关系（自参照）。
参照完整性规则：关系$R$中，外码$F$的取值只能为两种情况：
- 取空值（$F$的所有属性均为空）；
- 等于被参照关系$S$中某个元组的主码值。
示例1：学生关系（学号，姓名，主修专业），专业关系（专业名，专业编号），「主修专业」是学生关系的外码，其值只能是专业关系中已存在的「专业名」，或NULL。
示例2：课程关系（课程号，课程名，先修课号），「先修课号」是外码，引用本关系的「课程号」，其值只能是课程关系中已存在的课程号，或NULL（无先修课）。
3. 用户定义的完整性（User-Defined Integrity）
规则：针对具体应用场景设定的语义约束，是对实体/参照完整性的补充。
常见示例：
- 属性非空：学生姓名不能取空值；
- 取值范围：学生GPA$\in[0,4]$（或$[0,5]$）；
- 格式约束：手机号为11位数字、邮箱含@符号。
四、关系代数
关系代数是对关系进行操作的集合运算，运算对象是关系，运算结果仍为关系，分为传统集合运算和专门关系运算两类，是期末计算/简答的核心考点。
1. 传统集合运算（基于集合论，要求操作关系目数相同、属性域可比）
设关系$R$和$S$为同目关系，元组分别为$t$，核心运算包括并、差、交、笛卡尔积，符号及规则如下：
（1）并（Union）：$R \cup S$
定义：由属于$R$或属于$S$的所有元组组成，自动去重。
$$R \cup S = {t \mid t \in R \lor t \in S}$$
（2）差（Difference）：$R - S$
定义：由属于$R$但不属于$S$的所有元组组成。
$$R - S = {t \mid t \in R \land t \notin S}$$
（3）交（Intersection）：$R \cap S$
定义：由既属于$R$又属于$S$的所有元组组成，可由差运算推导：$R \cap S = R - (R - S)$。
$$R \cap S = {t \mid t \in R \land t \in S}$$
（4）笛卡尔积：$R \times S$
定义：若$R$为$n$目关系，$S$为$m$目关系，则$R \times S$为$n+m$目关系，元组为$R$的元组与$S$的元组的所有组合。
$$R \times S = {(t_r,t_s) \mid t_r \in R \land t_s \in S}$$
注：若$R$和$S$有同名属性，需用「关系名.属性名」区分，如$R.B$、$S.B$。
2. 专门关系运算（针对关系的行/列定制化运算，核心：选择、投影、连接、除）
（1）选择（Selection）：$\sigma_F®$
符号：$\sigma$（西格玛）为选择运算符，$F$为选择条件（逻辑表达式，如属性比较、逻辑与/或/非），$R$为操作关系。
定义：从关系$R$中筛选出满足条件$F$的所有行，列数不变，是行级运算。
条件$F$的格式：属性名$\theta$ 常量，$\theta \in {>,\geq,<,\leq,=,\neq}$，多条件用$\land$（与）、$\lor$（或）连接。
示例：从学生关系$Student(SNO,SNAME,SSEX,SBIRTH,{SMAJOR})$中，选「专业为信息安全」的学生：
$$\sigma_{SMAJOR=‘信息安全’}(Student)$$
选「2001年及以后出生」的学生：
$$\sigma_{SBIRTH \geq ‘2001-01-01’}(Student)$$
（2）投影（Projection）：$\Pi_A®$
符号：$\Pi$（派）为投影运算符，$A$为$R$中的属性列集合（单个/多个属性），$R$为操作关系。
定义：从关系$R$中选取指定属性列，行数可能减少（自动去重重复行），是列级运算。
示例：从学生关系$Student$中，查询学生姓名和主修专业：
$$\Pi_{SNAME,SMAJOR}(Student)$$
从学生关系$Student$中，查询所有主修专业（去重）：
$$\Pi_{SMAJOR}(Student)$$
（3）连接（Join）：$R \bowtie_{A\theta B} S$
符号：$\bowtie$为连接运算符，$A$为$R$的属性组，$B$为$S$的属性组（$A,B$目数相同、域可比），$\theta$为比较运算符。
定义：先做$R \times S$，再从笛卡尔积中筛选出$A$属性与$B$属性满足$\theta$条件的元组，是行级运算，核心为「笛卡尔积+选择」。
$$R \bowtie_{A\theta B} S = \sigma_{A\theta B}(R \times S)$$
核心连接类型
① 等值连接：$R \bowtie_{A=B} S$
$\theta$为**等号$=$**的连接，即筛选$A=B$的元组，保留重复属性列。
② 自然连接：$R \bowtie S$
特殊的等值连接，满足两个条件：
- 连接条件为所有同名属性组等值；
- 结果中去掉重复的属性列（仅保留一个同名属性）。
注：自然连接是期末最常考的连接类型！
③ 悬浮元组（Dangling Tuple）
自然连接时，关系$R/S$中没有在同名属性上找到匹配值的元组，会被舍弃，这类元组称为悬浮元组。
④ 外连接（Outer Join）
保留悬浮元组的自然连接，悬浮元组的未匹配属性列填充空值（NULL），分为3类：
- 左外连接：$R \bowtie_{左} S$，保留**左关系$R$**的悬浮元组；
- 右外连接：$R \bowtie_{右} S$，保留**右关系$S$**的悬浮元组；
- 全外连接：$R \bowtie_{全} S$，保留$R$和$S$的所有悬浮元组。
（4）除（Division）：$R \div S$
定义：设$R$为$n$目关系，$S$为$m$目关系（$n>m\geq1$），$R \div S$的结果为$n-m$目关系，包含$R$中与$S$的所有元组组合后均在$R$中的元组，是行+列级运算，为最难考点，按步骤计算即可。
除运算计算步骤（核心：找像集）
- 设$R$的属性分为「公共属性（与$S$同名）」和「独有属性$X$」；
- 对$R$按独有属性$X$分组，求每个$X$值对应的公共属性的像集（即该$X$下所有公共属性的取值组合）；
- 求$S$的公共属性的投影（$\Pi_{公共属性}(S)$）；
- 筛选出像集包含$S$的公共属性投影的$X$值，这些$X$值组成$R \div S$的结果。
核心公式：
$$R \div S = {t[X] \mid t \in R \land \Pi_Y(S) \subseteq Z_X}$$
其中，$X$为$R$的独有属性，$Y$为$S$的所有属性，$Z_X$为$X$在$R$中的像集。
示例：$R(A,B,C)$，$S(B,C,D)$，公共属性为$B,C$，$R$的独有属性为$A$。
① 按$A$分组，求每个$A$对应的$(B,C)$像集；
② 求$S$在$(B,C)$上的投影：$\Pi_{B,C}(S)$；
③ 若某$A$的像集包含$\Pi_{B,C}(S)$，则该$A$属于$R \div S$的结果。
